昨日の続きで定理 1 の復習をしてみることにします．

まず主張に使われている用語についてですが，
位相空間の部分集合族 Γ が σ 局所有限とは Γ = ∪_n=1^∞ Γ_n
となるような局所有限な集合族 Γ_n (n = 1,2,… ) が存在することをいいます．
距離空間のパラコンパクト性も併せて証明します．

定義．位相空間 X 上の非負値連続函数の族 F = ( f_λ ) が 1 の分割であるとは，
X の各点 x で Σ f_λ(x)=1 となることをいう．開集合族 Φ(F) = ( f_λ^-1(0,1] )
が局所有限のとき，1 の分割 F は局所有限であるという．X の開被覆 Ψ が与えられているとき，
F が Ψ に従属するとは，Φ(F) が Ψ を細分することをいう．

補助定理 1. 位相空間 X の任意の 1 の分割 F = ( f_λ ) に対して，
局所有限な 1 の分割であって Φ(F) に従属するものが存在する．

（補助定理 1 の証明） f = sup_λ f_λ とおく．f は連続である． g_λ = max { 0, f_λ - f/2 } とおく．
h_λ = g_λ / Σ_λ'∈Λ g_λ' とするとき ( h_λ ) が求める 1 の分割である．■

(X,d) を距離空間とする． X の開被覆 Φ= ( U_α )_α∈A が与えられ，
A には整列順序が固定されているものとする．
正数 ε に対して，閉集合族 Φ_ε = ( F_α )_α∈A を次のように定義する：

    F_α = { x ∈ X | d (x, X - U_α ) ≦ ε } - ∪ { U_β | β ＜ α }.

Φ_ε は disjoint で局所有限な閉集合族である．次は容易である．

補助定理 2. 距離空間の部分集合族 ( A_λ ) がdisjoint で局所有限な閉集合族ならば，
各 λ に対して A_λ の開近傍 V_λ を取り， ( V_λ ) を disjoint で局所有限な開集合族にできる．■

補助定理 3. 距離空間の任意の開被覆に対して，それに従属する 1 の分割が存在する．

（補助定理 3 の証明）(X, d) を距離空間，Φ= ( U_α )_α∈A を任意の開被覆とし，
補助定理 2 を Φ_ε に適用してできた局所有限開集合族を Ψ_ε とする．
n = 1, 2, … に対して Φ_1/n = ( F_nα ), Ψ_1/n = ( V_nα ) と書く．
このとき ∪ { F_nα | α ∈ A,   n = 1, 2, … } = X となることに注意する．
Urysohn の補題より，連続函数 f_nα : X → [0, 1] であって F_nα 上で 1，
X - V_nα 上で 0 となるようなものが取れる． g_nα = f_nα / (1 + Σ_β f_nβ) とおいて
h_α = Σ_n 2^-ng_nα / Σ_n,β2^-ng_nβ とすると，( h_α ) が求める 1 の分割である．■

補助定理 1 および補助定理 3 から次が従う．

系．距離空間はパラコンパクトである．■

（定理 1 の証明）必要性は，上の系から直ちに従う．十分性を見るため，
正則空間 X の σ 局所有限な開基 Γ をとり，Γ = ∪_i=1^∞ Γ_i （Γ_i は局所有限な開集合族）と書く．
この開基を用いると，昨日と同様に， X が正規空間であることが分かる．
Γ_i = { U_α | α ∈ A(i) } と添字を付ける．A(i) たちは互いに交わらない添字集合とする．

    A(i, j)= { (α, β) ∈ A(i)×A(j) | Cl U_β ⊂ U_α }

とおく．各 γ = (α, β) ∈ A(i, j) に対して f_γ : X → [0, 1] を Cl U_β 上で 1, X-U_α 上で 0 となるようにとる．
各 i, j に対して Banach 空間

    l¹(A(i,j)) = { (x_γ)_γ∈A(i,j)) | x_γ ∈ R, Σ |x_γ| < ∞ }

を考える．直積空間 L = Π_i,j=1^∞ l¹(A(i,j)) は，距離空間の可算直積であるから距離付け可能である．
f_ij : X → l¹(A(i,j)) を f_ij(x)=(f_γ(x))_{γ∈A(i, j)} で定義し，更に f = Π_i,j f_ij : X → L とする．
f は X の距離空間への埋め込みを与える．■


定理 1 を証明された長田潤一先生と Yurii Mikhailovich Smirnov 先生は，
奇しくもこの2007年，相次いで逝去されました．
位相空間論の一時代を築いた両先生のご冥福を祈ります．

位相空間論をちょっと勉強しはじめると出てくるのが

定理 1．(Nagata-Smirnov)
正則空間が距離付け可能であるための必要十分条件は，それが σ 局所有限な開基をもつことである．

距離付け可能定理はもっと簡単なのがよく「集合と位相」の教科書に載っている．たぶんそれは

定理 2．(Urysohn)
正則空間が可分かつ距離付け可能であるための必要十分条件は，それが第二可算公理を満たすことである．

今日は定理 2 の証明を復習することにします．

まず必要であることは易しい．十分性を見るために正則空間 X が可算基 { B_i | i ∈ N } をもつとする．
特に，X は 可分性および Lindelöf の性質を満たす．

主張．X は正規空間．

実際 F と H とを交わらない閉集合とし，F を覆う X の開集合族 { U_i | i ∈ N } と
H を覆う X の開集合族 { V_i | i ∈ N } とを Cl U_i ∩ H = F ∩ Cl V_i = 0 となるようにとる．
U = ∪{U_i - Cl V_j | i ＜ j } ， V = ∪ {V_j - Cl U_i | i ≧ j } とおく．
U, V は互いに交わらない開集合であって，それぞれ F, H を含む．■

Cl B_j ⊂ B_i なる各 (i, j) に対して，Urysohn の補題 を用いて
連続函数 f_ij : X → [0, 1] を Cl B_j 上で 1， X - B_i 上で 0 となるようにとる．
上のような (i, j) 全体の集合を A とすると A は可算であって，よって Y = [0, 1]^A は
距離付け可能である．f : X → Y を f(x) = (f_ij(x))_(i,j)∈A で定める．
f は埋め込みであって，よって X は Y の部分空間と同相となるから距離付け可能．■

引き続きセミナーの準備をしています．

セミナーの準備をしました．

忘年会でした．なかなか異色の？メンバーぞろいで，よかったんじゃないでしょうか．
四角い部屋をまるく掃くことしかできないとしても，掃除できてない所の面積はいくらでも小さくできるのです．
明日からは精進の日々です．僕を支えてくださっている方々に報いるよう．

なんか眠いんです．
大学に来ている人の数もさすがに少ないですね．

前回の記憶が薄れないうちに改めて聞いてみると前よりもよく分かる．学習ていうのはそういうものか．

万障繰り合わせのうえ証明されているのか？

四年前に聞いたときより forcing の話はずっと分かる気がする．
しかし議論の本質が何かとか，そういうことを見抜く力は僕にはぜんぜん無い．Ａのり君がいるとそれがよく分かる．

ちなみにいま forced to resign という言い回しを英語の時間に教わったことを思い出した．何の必然性もない．

なんだかんだみんな頭いい．

明日からほんとにセミナー食べます．

午前中のセミナーに出るために大学にやってきたらどうも年内のセミナーは終わっているらしいと扉を開けて出てきたこ○まさんに言われたので数理の院生室のコンピューターでメールを見られるように設定してメールを確認してみようと思いそうかＸ端末とかあったなと思ってプリンターの部屋に行ったらメールは一応見ることができて１００００通くらいのスパムがあったので削除しまくって２０００通くらいにしたらＮスリンさんがやってきてこれクリックした方がいいかなと聞かれたので分からないといい院生室に戻るとたまたまそこにお見えになったＳ田さんに数理のコマンド打ちこむ窓をどうやったら出せるかを聞いてそのとおりにやってうまく行かずＳ田さんは講義に行ってしまわれたのでＮ岡くんとしゃべって御飯を食べに生協に行こうと建物を出たらこ○まさんに会ったのでこ○まさんと一緒に昼食をとり院生室に戻ってきたらＳ田さんがお帰りになっていたのでもう一度コンピューターのことを聞いてそうしたらうまくいったのだがスパムが２０００通くらい残っているので一つ一つ消していたらＳ田さんがやってきて G-mail にスパムを振り分けさせるとよいと言われそのとおりにすると自宅に転送されるメールがすべて G-mail をふぁくたしてスパムが取り除かれるようになって，今自宅で日記を書いている私は大変助かっている．

上のことの他に，ＴＡとこ○まさんの就職お祝いの会がありました．

発表しようとしていたことが前日に崩壊してしまった．いつもこれだ．
自分の発見したことを次の瞬間から他人の目で吟味する習慣が必要だ．
あのセミナーよかったのかなあ．

トーション読書会はまだまだこれから．

CW 複体の Franz-Reidemeister torsion の定義を勉強した．
代数的のからくりがどう幾何に戻ってくるのか，どんどん分からなくなるのは宿命なのでしょうか．

日向ぼっこの日．今日やったことはとくにない．
まだ風邪は回復していません．昨日よりはいいかな．
昨日は久しぶりに児玉・永見先生の位相空間論の本を読んだ．
永見先生には愛媛でお目にかかりました．さすがに御歳を召されていましたが．
児玉先生は少し歳は下で，僕の数学上の師匠の師匠にあたるようです．

かぜひいた．
そういう訳でアベノリセミナーに出られません残念無念．
今回のかぜは熱，悪寒，節々の痛みみたいな全身症状で，数学とかほとんど手につかない．
鼻水や咳，のどの痛みなどは不思議とないんだけど．とりあえず林檎をいっぱい食べてみた．
読書会と研究室セミナーがあるけど大丈夫かな．

昨日のバナッハ空間の本は図書館から借りてきた．演習がいっぱいあって，
folklore（誰が証明したかは未詳だが専門家にはよく知られている事実）を自分の手で身に付けられる本．
大事なのはこういう膨大な実践なんでしょうね．

Kunen-Shelah property といってもバナッハ空間の性質ですのでよろしく！

松山への車中でバナッハ空間に詳しい人からFunctional Analysis and Infinite-Dimensional Geometryという本を薦められたぞなもし．
読むなもし．

今日はセミナーとＴＡがあったので日常に戻ってきた感じ．
明日からはセミナーを食べます．

そいえば
通常の数学では「非可算無限＝連続体濃度」という「等式」が成立するかと思っていたのですが
それが大間違いであることを京都で知りました．

単位閉区間の I=[0,1] のコピーを可算個用意して，各コピーの 0 にあたる端点をすべて同一の点 p
と思うことで商空間 X をつくると，１次元のＣＷ複体ができる．このとき p のまわりの基本近傍系として
最小何個の開近傍が必要かを考えると，その最小の数は非可算で連続体濃度以下だけど，
連続体濃度に一致することは証明できない数 (dominating number とよばれる) になるらしい．

とある事情によって，線型空間の基底をとって何か計算することになった．
自分は一年生の線型代数（基底の取り替え）がまるでできないことに気が付いた．
できないというより，考えてあまり愉快でないというのが正直な言い方かもしれない．
でも，要約すれば，ぜんぜんできない．
こういう能力が代数の基礎体力であるとすれば，代数ができないはずである．

自分はこんなに長い間外出していたんですか
なんといいますか，出席者は外国人ばっかりだったので
日本というより外国に行ってきた感じでした．

年内の予定がありえなく詰まっている．
これから一週間の間にあべのりセミナー＋読書会＋セミナー発表って
確かに全部やることになってるんだよね．僕は分身できないよ．

明日から京都と愛媛でトポロジーしてきます．さようなら．

僕の部屋は２年半ぐらい前（2005年4月23日）に沢山のものを捨てて，だいぶすっきりしていたのだけど，
裏が白紙のプリントなどを12年分くらい蓄積しているのがそのままになっていた．
メモ用紙に使う目的で保存しているのだが，供給が需要を大幅に上回って，たまる一方なのだ．
今日は，そうした紙の地層のごときものを発掘して，サイズごとに仕訳する作業をやった．
懐かしいものも，いくつか出てきた．仕訳された紙は，手製メモ帖に変身する予定である．

「すべての定理は自明である」ということは帰納法で証明できるはずだよね．

可算無限離散空間の Stone-Cech コンパクト化 βN について勉強したいとかねがね思っているのだけど，
どうするのがよいだろう？　まあこういう問いを発すること自体，そう真剣に勉強する方法を探してもいない証拠なのだが．
多様体なんかは位相幾何学の基本的対象とされているけれど，位相空間の定義そのものから基本的対象とはいえない．
実数体の構成というプロセスが挟まっているからだ．位相空間の定義は多様体とそれにまつわるさまざまな構成を扱いたい
（あるいは函数解析を基礎付けたい）という要請に応えたものかもしれないけど，別に位相空間の定義は多様体のためのもの，
あるいは函数空間のためのものには読めないし，実際そうであることが役に立っている（と，無知な私は信じている）．
その点カントール集合なんかは，まさに基本的な位相空間である．２点からなる離散空間の可算無限直積であるから．
βN はそのような類の空間である．

一言でいうと，βN は可算無限集合上の超フィルターすべてのなす位相空間である．
存在自体が選択公理で保証されるようなものの全体を集めてできたもの，ということになるが．
でもとにかく定義は簡潔明瞭である．少なくとも数直線 $\mathbb{R}$ よりずっと簡単である．
が，ほとんど何も分からない．点集合としての濃度を確定させるだけで，かなりへとへとになる．
よく目にする空間で，濃度を求めるのが大変なものというのは他にちょっと思いつかない．
そういう断片的情報を知るほど，この魔物 βN についてもっと知りたいと思うのである．

（今日のＴＡ）
X を集合とする．
F(X) : X から２点集合 {0, 1} への写像全体の集合．
P(X) : X のベキ集合．

学生が F(X) から P(X) に全単射を構成しようとし，χ∈F(X) に対して χ^-1(1) を対応させると書く．
Ｍ先生「それは fiber のことかな？」
Ｍ先生「ああ，逆像でもいいのか．」
！！！！！

今日は「若き数学者への手紙」を読んだ．
各章がメグという数学者を目指す人に宛てられた一通の手紙ということになっていて，
高校生から准教授に相当する職を得るくらいまで，各段階に応じたメッセージが書いてあるという本．
著者はもちろん数学者であって力学系の対称性・パターン形成・カオス・数理生物学，などがテーマとのこと．
本書の後半で解説される数学者の（といっても主に米英の数学者の）現実については，
日本もおおむね似たようなことがある気がした．
もっとも僕も学生だし，大学の中のことについては，日本もそうなのかな，大変だなと思って読んだ．
自分の身の振り方に関係するようなことが書いてあるし，また，数学はどう役に立つものなのか，
役に立ちそうも無いことをなぜ研究するのか，と聞かれたときの答えを真剣に考えるための材料にもなりそうだ．

起きたらなんか手首が痛い．余程変な姿勢で寝ていたらしい．
群ですらないものについて五項補題の類似みたいなのを証明できることもあるらしい．

π₁(A)→π₁(X)→π₁(X,A)→π₀(A)→π₀(X)
　↓　　　↓　　　　↓　　　　↓　　　↓
π₁(B)→π₁(Y)→π₁(Y,B)→π₀(B)→π₀(Y)

基点のチョイスによらず真ん中以外の４つの縦矢印が全単射なら，真ん中の縦矢印も同様．
図式が思い切りずれている場合もあるかと思いますが勘弁．

母は二重機結びというのも知っているらしいのでそれを調べてみた．
これは相当難しかった． Rolfsen の本と見比べて40分ほどして，ようやく非交代結び目 8₂₀ であると分かった．
交代結び目じゃなさそうなことは早くから見当がついたが，８交点の結び目で非交代なものは３つあって
絵の形のどれにもなかなか一致しない．それでも，３つに絞ることができたのは幸運だった．
前回の機結びは楽しかったが，今回はちょっと疲れた．非交代結び目も実用で出てくるのね．
手作業だけでやるのはこのへんが限界かも．

今日はわりと調子いい．
生協に頼んでいた本が届いたというので取りにいった．
昨日までテレビで「点と線」をやっていた．
父は四十年前に読んだらしい．ああそうだった，でもこういう設定は無かった筈という．父は昔のことを何でもよく憶えている．

駒場祭で劇団キキの演劇を見た．ＴＡで見ている人が出演しているというので．
どの日に見に行くか選ぶ余地があったので楽日に行くことにさせてもらいました．

Ｋ玉さんとふかさわの就職お祝い飲み．
そういえば駒場棋院からの「戦利品」と称する碁石が意味もなく保管されていた．
しかし，コマキンとてチェスクロックの針を進ませず高速で押しまくる遊びをやっていたではないか．
僕は母校への愛が足りないのか？

好きな魚はブリカマです
サンマは saury，ブリは yellowtail と和英辞書にあった．
少なくとも僕にブリが黄色い尻尾の魚という認識はないんだがなぁ．事実なのだろうけど．
西洋人に接するにあたって西洋文化の仔細を知ることは二の次で，日本の文化伝統を説明できることが大事だ，
とＫ玉さんはおっしゃっていた．至極もっともと思ったので簡単な調べ物をしてみました．

今日はカップルを沢山見た．喫茶店の真ん中の大きなテーブル（普段僕が勉強に使うことが多い）にいるカップルは居づらそうだ．

あれ，やっぱりまずかったんじゃ？

さの君は最近どうしてるのか．というので，代数幾何の話を聞きになんでもに行った．
かつてなく皆が将来の話をしていた．僕は時すでに遅し？
いろいろあっても自分のことしか考えてないんじゃないか．
数学者は好きなことを研究してるし，基本的には自分勝手なもんだと思う．
でも，やっぱり人には感じよく接したいものだ．
余裕をいばった態度で見せる人と謙虚さで見せる人といると思う．後者が自然に出来る人を敬うし，できればそうなりたい．

なんか急速に年末の予定が増加しつつある気がする．

祖母帰る

祖母は「いぬのほゆっ」と言っていた．犬吠ゆ．吠えるはヤ行だったのね．日本語の勉強になります．

なんとなく気にしすぎのような感じがした．不安定でごめんなさい．

今日は療養のためということもあり家でゆっくりする．
ちなみに祖母も家でゆっくり綿入り半天をつくり直していた．
僕は家でしか着ない綿入り半天．仕立て屋がやったよりずっと良くなっているらしい．
袖の形も変わって，ドアノブに引っ掛けることがなくなった．
縫い方の工夫なども色々聞いたが僕にはちょっと猫に小判かもしれなかった．

今日もセミナー中に眠って仕舞った．
こんな小学生程度のことも満足にできずに一体後輩に何が言えるというのか．
演習のＴＡの仕事も，何か無難にやり過ごしてしまったようなところがあり残念．

11日から熊本に住む祖母（母方の）が来ている．僕にとっては四人の祖父母で健在なただ一人．
昨日は齢八十一にして東京の満員電車に乗って，貴重な体験で面白かったと言っている．
なんか聞くところによると母以上に祖母が人の重みを支えていたらしい．
一体どうしてそんなに元気なのといいたくなる元気振りで，風邪ひいてる自分が情けなくなります．

セミナー中に眠ってはいけない．発表者に失礼になるからだ．それが分かっていても
その日の調子によってはやはり眠ってしまう．そして今日の午後は眠ってしまった．
せめて発表者の読んでいる論文に目を通しておこう．

つくばに行きました．つくばは風が冷たい．
大学と駅の間のバスのダイヤは効率がわるい．
３本くらい連続して来たかと思えば，15分くらい来なかったりする．
これを均等に５分間隔にしてほしいと誰もが願っているであろう．少なくとも私は願う．

熊本での従姉の結婚式から東京に戻ってきました．ＰＣを前にぼーっとはしていられない．
ウィキペディアを封印して数学やります．

書くことはない．

睡眠の不足は，理性をおしつぶす．
つねづね理性的に行動しようと心がけていても，基本的欲求の満たされぬ状態でそれを実行するのは，はなはだ困難である．
しかるに理性・悟性の人としか思われぬ人も世の中にいて，そのような人は常に理性とともに現れる．
そのような方々はその理性を保持することのできるような生活を，まずそれ以前にたもっているということが尊敬に価すると思う．

ところで，いま出回っている３次元多様体の洋書テキストって，Thurston は敬意を表しつつ除くこととして，
Hempel と，Hatcher が web 上 で公開しているもの位しかないのでしょうか．
Hempel はＣＯＥ研究員の方のセミナーでもやっていますが，ＰＬトポロジーの言葉で書かれていることによって，
かなり多くの現代の学習者にとって学びにくいものになっている模様（僕は決して嫌いじゃない…けど）．Hatcher は
smooth で押し通した最初の教科書になるのでしょうか？　日本語だけど，森元氏のはＰＬを使っていた気がするな．
とはいえ，３次元では位相多様体はかならず一意的な可微分構造をもち，よって三角形分割され，それは必ずＰＬ多様体で，
しかも位相多様体の上部構造としてのＰＬ構造も一意的，ということらしいですので，基本的には滑らかな言葉に翻訳できる
と考えられる訳ですが．（要するに，この種の結果があるから，証明をフォローしにくいＰＬが表に出なくなったんでしょう．）

ま，証明のフォローしにくさも含めてＰＬを愛する私はただの変な人ってことですね．
Hatcher の教科書が complete edition になって世に出てくることが待たれますね．

今日も昨日に続き答案に朱書する．目がさめたのは正午である．ラジオ「昼の憩い」でほのぼのと目がさめる．
できるだけ手抜きにならぬようにしているのだが，
それでも，きのう眠気にあらがいつつ見た答案と，昼間のまぶしい光のもとで見た答案とが，
同様にチェックされているかには自信がない．

これを数理まで提出に行って，少々の事務作業．おわり．

久しぶりにセミナー出席．
今日は間違った指摘を色々としてしまった．
一言目でおかしなことを言ってもせめて二言目には正しいことを言っているようになりたいものである．
まあ間違っていることでも言わないよりはまし，ではあろうけど．

２年生の答案を採点している．
全称命題の束縛変数はその場限りだということも，シグマとか lim とかで実感として分かってると思うんだが，
なんかその辺に無頓着な人が多いみたい．

圏の局所化の構成を理解した気になっている．K-S の１章を演習こみでクリアしておけば，
ホモロジー代数を勉強したことになるかもしれないので課題としておく．

最近，二つほどの有名な土産物菓子が販売中止に追い込まれている．
同じような精査を加えれば全国の有名な土産物の多くに何かまずい点がみつかると思うのだが．
あのような制裁を加えて，従業員の失業，廃棄物の増加，などのほかに効果はあるのだろうか．

母の機結びは実際には６交点にまで減らすことができた．
6_2 交代結び目 と呼ばれるものになるらしい（実際にはリンク先の絵の鏡像）．
絵の通りになるまで２０分以上かかったし，７交点だと思っていた時間も５分かそこらあった．
６交点ですらこの有様，結び目の非同型を手作業で判定できるとは思わないのが賢明と思う．

妹が帰ってきて，トポロジーの番組を見たよ，と言った．
なんか結び目というのが重要らしいね，というので，
その辺にある紐で，（両端を結んで解けないようにした）結び目をつくってみせたりした．
母が，面白い結び方を知っている，こういうのだよ，と結んだのを見せてきたので
その結び目をなんとか紐の中ほどまで移動して，紐の両端を結んだのちほどいてみた．
どうもこの結び目は９交点らしい．数学辞典の一覧表を見たが８交点までしか載っていない．
もちろん母や妹にとってそんなことは残念でも何でもない．
この結び方は機結びというらしい．

消せる色鉛筆が欲しい．買おうかな．
新入生たちと歓談．みんな将来のことは心配だ．

今年の10月も暮れゆく．

イクラちゃんに曜日の感覚はないよ．
はいこちらアーベル圏ですが．ご用件は？
チャーン！チャーン！チャーン！


こんなことにイクラちゃんを登場させたことに後悔した．

コピーをした．

なんかテクい．

傘の青雲丸を電車に置いてきてしまった．昨日のことである．
手すりに傘を引っ掛けたまま電車で居眠りし，乗り換えの駅に着いたことに気付き，
あわてて降りて傘を置き去りにしてしまったのである．
こうして置いていくことのないよう普段から気をつけるよう，犬猫なみに名前までつけていたのだが．

すぐ駅に申し出て，置いてきた電車を捜索してもらったが，見つからないとの返事だった．
今日は一縷の望みを託して，遺失物扱い所まで行ってみた．
傘が何かしらの形で見つかった場合は，ここに集められるのだという．
僕は遺失物扱い所というのは，薄暗くて，愛想の悪い職員の座っているところだと
理由もなく思い込んでいたのであるが，
実際にいたのは親切なおばさんと，手際よく電話に応対する三十ほどの男性社員だった．
僕が遺失物扱い所にいる間にも，何人かの客が，首尾よく自分の落し物を発見して帰っていった．
僕の傘は，届けられているならばあの棚にあると言われた．傘の一本一本には特徴を記した荷札がつけられ，
たぶん十本ずつ，きつく紐で縛った状態で置いてあった．
僕の傘は見つからなかった．

今日はＴＡをした．
前回（２週間前）に比べるとクラスの人同士の仲がよくなっているように見えてほっとした．
先生の十八番の問題で，思ったとおりの間違いをする人が今年もいて先生はすかさず「ブー．」と警告されたのだが
僕は即座に間違いであることに気付けなかった．

大体，間違いに気付けない原因はこうである．
定義通りに証明しようとすれば普通はしないようなことを発表者が始める．(A)
それには気付くが，結果的に議論は正しいかもしれないと思ってスルー．(B)
まだ大丈夫かもしれないと思っているうちに見逃し．(C)

(B)のようなことをする癖を，色々な難しい話を聞いているうちに身に付けていることを自覚した方がよさそうだ．


今日は文春新書『リサイクル幻想』を読んだ．僕にとって啓発的な本だった．
筆者は工学的知見に基づいて，資源の再利用について数々の巷での誤解を指摘し，
その上で，合理的な循環型社会のモデルを提案している．

プラスチックをプラスチックとして再利用する過程（例：ペットボトルから再生繊維）には，
石油を原料としてプラスチックを製造するよりも，はるかに多くの石油が消費されることを指摘し，
これを「リサイクルの増幅矛盾」と呼び，読む者に注意を喚起している．
また紙のリサイクルについても，「持続性のある資源を繰り返し使うために，持続性のない資源
を消費する行為」であるとして，本質的な問題があることを指摘している．

一方，プラスチックは原料である石油のもつエネルギーをほとんど失っていないことを筆者は注意する．
従って，石油をそのまま燃やす「生焚き」を避けて，むしろ石油はプラスチックとして有効に利用し，
材料として劣化したらそれを燃料とするのが合理的であると筆者は説く．
（燃焼時の有害物質の発生や焼却炉の損傷は，燃焼条件の制御や，適切な炉の使用で避けられることも述べている．）

以上は有機物のリサイクルについてであるが，無機物のリサイクルについても，提案を行っている．
鉄のように社会に豊富に存在する資源については，回収が容易であって，鉄くず回収のような古典的リサイクルが
有効であることを筆者は認めている．しかし，そうでない金属の回収は困難であって，前述の増幅矛盾が
回収の効果を著しく下げるという．そこで筆者は，「分別回収なしの全量焼却」という方法をとり，
効率的に産出される灰を，金属を含有した一種の鉱石として資源小国の日本は備蓄すべきであると提言する．
ガラスや陶器については，資源は豊富に存在しており，そもそもリサイクルの必然性は低いとする．
またガラスのリサイクル量が増加すれば，さまざまな組成のガラス，たとえば酸化鉛を大量に使用したもの，
の混入による汚染が避けがたいものになると，危惧している．

朝刊に小平理論と書いてある．何のことかと思ったら�ｹ
小平理論とこのような場所で改行されていた．中国の共産党が方針を変えたらしい．

つくばに行ってセミナー．
そしてテレビが単連結な閉多様体と言っている．
日本のマスコミヌケイションが数学に目覚めた一日である．

そしてセミナーの準備は終わらない．

勉強の進まなさに戦慄するが遅し．
数学には害毒であるかもしれないようなものを完全に排除して僕は生きていけない．
そもそも外の害毒を云々する時点で，要らぬものに浸かりきっている．
などと，どれだけ内実のあるかも分からないことをくだくだ述べたくなる．

満足な計算機のない世の中に，計算機の理論は存在して，最も抽象的な部類の数学の枠組みはあった．
数学を勉強するまで計算機の有無で現代／前の時代の区分があるものと思っていた．
けれど，最近はそれがあまり本質的なことではないような気がしている．

交通機関の目覚しい進歩により，京大RIMSから東大数理までは３時間30分で到達できる．
アーベル圏の本を見たら全射のプルバックが全射なことが一瞬で証明されていて
あれだけ考えたのは何だったの．と思った．

最近のプレゼンにはbeamerというのが使われるみたいですね．最近よく見る画面はみんなこれだったのか．

敬愛を集めるクロアチアのＭ先生（80歳）は夫婦ともども元気．
先生は３回ほど来日したことがあり，奥さんも一緒に来ていたらしい．
参考までに，Ｍ先生夫人の得意の日本語を二つほど紹介しておこうと思う．

「一日中，数学をしました．」
「一日中，寝ました．」

昨日はやることがないために23時に寝て，起きたのは８時だったので，よく寝たと思ったのだが，
意に反して今日は講演中に寝てしまうことが多かった．ビールの飲みすぎが原因だと思った．
これから気をつけたい．
今日はベータＸについてのかなり基本的な結果なのではと思われることがアナウンスされた．
証明の紹介をやっていたが，やっぱりというか全然分からなかった．
この全然分からなさを分析する過程がゼネトポの一つの醍醐味と思う．
三条で京都初のｙｒｋｓスポットを発見した．

講演についての報告と雑感．

１日目．零次元空間について，初期のフンダメンタには面白いことが色々書かれているらしい．
そして，講演者の先生はフンダメンタを学生に読ませてるんだそうだ．
それだけ聞くと僕などは参加したくて仕様がない．うらやましか

群 G において，g_1*x^{e_1}*g_2*x^{e_2}*...*g_n*x^{e_n}=1（e_i =1 or -1）の形の方程式で定義される集合の
補集合を開基とする位相を G の Zariski 位相と呼ぶとき，Zariski 位相は，
「 G を Hausdorff 位相群とする，離散位相でない如何なる位相についても開集合であるような集合全体」
を開集合族と宣言して得られる位相（講演者は Markov 位相と呼ぶ）に一致するか？
という問題があるそうだ．可算群やアーベル群についてこれは正しいらしい．

宿は一泊 2500 円の相部屋制安宿．どこだか知りたい人は○天トラベルで検索してください．
ちなみに宿の人は僕の予約を台帳に記録するときに間違えたらしく，18日から泊まることになっていた．
泊まることはできるが明日は部屋が変わるよということだ．別に問題なし
結果として相部屋じゃなかった．
ベッドのある部屋と宿の人がテレビ見てるリビングルーム以外に何もなくて，
ｙｒｋｓに適した場所が宿にないのが難点だ．

今日はセミナー．
明日から General Topology の集会のために京都に行ってきます．

そして僕はついにハーツホーンを買った．



この書物の第１章を読めば，ユークリッド「原論」の第I-IV巻を，
すべての作図と証明とを理解して読んだことになるらしい．

昨日のは何か間違いだった．そもそも僕は必要ないこと勉強しすぎ．
後ろ髪を引かれて撤退するのも何度目か．でも，こればかりは捲土重来したいところだ．

今日はつくばでクロアチアの報告をした．
寝てる途中で目が醒めたせいもあり３時間しか寝ていなくて異常に眠い．
いくら寝ても眠くて，このままでは生活のリズムがまた崩れそうだ．
クロアチアで学んだことは，よく食べ規則正しく眠ることこそ，
知能を働かせるための妙薬であるということだ．

そして明日のセミナーはバニっシュの危機にある．

第３同型定理にあたるものをアーベル圏の定義から示すのってこんなに大変なんですか．

0->H^k->X^k/B^k->X^{k+1}

元をとって一時的にリフトしてから後で well-defined という操作が難しい．
リフトする場所を曳引して作っておいて，核の曳引は曳引，などと言って出来たようにも見える．
もっと簡単にもできるのかな．勉強した誰もが体験していることなのでしょうか．

ＮＨＫ教育でドストエフスキイの耳学問を蓄えた．

会場が分かりにくい．道に迷って最初の講義は出られませんでした．
石段に迷い込む．

           

会場はこんなだ．別に学会をやるために建てられたものではなさそう．
戦争でひどく破壊されたんだそうだ．
周りの風景と極めてよく調和しているため，発見がむずかしい．
目の前を二度も通り過ぎてやっとわかりました．

           

ライプニッツおいしい．            

Ｍ尾先生のＴＡ．小テストの答案の回収に追われる．

玉原の新入生歓迎ツアーは定員がいっぱいで参加できないらしい．かなり残念だ．
以前やっていたように数理でパーティーをやるわけにはいかないのかな．

クロアチア猫．            

いま書いてるのが10月10日深夜．眠れん． 体内時計がまだクロアチア時間になっているのか知らん． とにかくクロアチアで身に付けたよい生活習慣は持って帰りたかったのだが，
どうも東京ではいろいろ妨害要因が多すぎる．玉原にでも住もうかな？

まあ眠れないからクロアチアでのことでも書いてみようか．
これからセミナー（聞くだけ）とＴＡがあるのだが大丈夫だろうか．


クロアチアの地図→            

行った場所は Dubrovnik というクロアチアの町で，アドリア海の真珠と呼ばれるほんとに美しい町．
地図のとおり，クロアチアは東側に向かって開いたカニのハサミのような形をしていて，
そのハサミの下の刃の先端のところに Dubrovnik の町がある．
実は Dubrovnik の部分だけ隣のボスニア・ヘルツェゴビナに分断されて飛び地になっている．
分断された部分同士の行き来は難しくはないらしいが，遠足 (excursion) は飛び地内だった．
クロアチアの首都はハサミの付け根のあたりのザグレブ．結構近代的な都会らしい．行ったことはないけれど．

まず，飛行機については，往復ともウィーンで一泊して乗り換え，すべてオーストリア航空の便だった．
クロアチアに日本からの直通便はなくて，日本から欧州の主要都市で乗り継いで行くことになる．
中でも Dubrovnik に行く場合は，日本からの一回乗り換えプランはウィーン経由のオーストリア航空に限られ
しかもウィーンで泊まることも避けられない．そういう訳でウィーン観光をするつもりはないのだが
ウィーンに泊まる「羽目になった」．

成田からウィーンの飛行機は座席背面に画面がついてた．わりとみんな映画を見ていた．
鮭の鉄板焼きにご飯をつけたもの（日本食のつもりと思われる）が機内食に出てきた．
鉄板焼きとメニューには書いてあるが，機内食だけに鉄板はついていない．
ご飯の方が魚に付随しているのが西洋的解釈．まあ美味しかった．
そしてシベリア上空は寒かった．

ウィーン空港には危険な曲がり角があって，"Nothing to claim" という場所を最初に曲がると
乗り換えの方に行って到着ロビーに行けない．僕はそれにはまった．"Nothing to claim" で
抜き打ち検査してるっぽい人に "I want to check my baggage." とか言ったら正しい道を案内してくれた．

空港前のホテルに泊まった．いろんな国の人が来るという場所柄もあってか
英語がだめな僕にも親切に応対してくれた．
間違えて帰りの分の券（行きの分と一緒にホッチキスでとめてある）
をフロントで渡してしまったことに夜遅くなって部屋で気付いた．
次の日，それをぐだぐだな英語で説明したら，
物分かりの良いホテルマンはちゃんと帰りの分の券をちぎって渡してくれた．
よかった．

話は戻るが，ウィーンの名物である，シュニッツェル，という叩いた仔牛肉のカツレツを食べに行こうとして
地○の歩き方のとおりの店に入ったら，若い日本人旅行客が二組いて客はそれだけだった．
うち一組がめちゃくちゃ苦労してウエイターに注文を伝えていている最中だった．
僕は扉を開けて店に半歩踏み込んだ状態で一分ばかり立っていたが，
なんか色々な理由で僕が入るのはヤバイと感じてその場を去った．

結局，ウィーンのもう一つの名物であると聞いている，まずいパスタを食べることにした．
食べた場所は，結構しゃれた日本にもありそうなイタリアンカフェだった．
パスタ（ミートソース）は確かにゆですぎだった．でもソースはおいしかった．
パスタのほかにサラダと，パンの上にトマトソースと一緒に具材が載っているもの
（名前がよく分からない）を食べた．量としてはかなり多くて，必死にがっついて食べてしまった．

ちなみに空港と市内は国鉄が結んでいて，25分で３ユーロちょっとなのだが
飛行機ではウィーン到着前に，２階建て車両で16分の「高速列車」があることを散々宣伝され，
それに乗ると９ユーロかかる．たかが10分くらいの差に２倍以上の金を払う価値があるのだろうか．
高速列車というのも実は駅を通過するだけで列車そのものはそんなに速くないのでかなりがっかりする．
不慣れな人相手のぼったくりと言われても仕方のないものだ．

まだクロアチアに着いていない．今日はこの辺．

自分が英語ができないことがよくわかりました．

9月27日の対称積について．よく使われている定義 X^n/S_n ではそのようなことは成り立たないらしく
ここでは対称積は X の n 点集合全体に Hausdorff 距離を入れたもののことをさすらしい．
(a,a,b) と (a,b,b) とを同一視するかどうかの違いだ．


ちなみに Kashiwara-Schapira もクロアチア旅行をしました．


           


僕なんかが連れて行くんじゃなかったと後悔している． ともかく無事です．